Question

设函数f（x）=（1+x）²-2ln（1+x）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调增区间；
（Ⅱ）当x∈[

1

e

-1，e-1]时，求f（x）的最大值．

Answer 1

分析：（I）先求导数fˊ（x）然后在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0，fˊ（x）＞0的区间为单调增区间，fˊ（x）＜0的区间为单调减区间．
（II）求出函数的导数，利用导数研究函数f（x）在区间上的单调性，再由单调性求函数在区间上的最值．令f′（x）=0，求出极值点，判断单调性即可求得最大值

解答：解：（Ⅰ）由x+1＞0，得：f（x）定义域为（-1，+∞）…（2分）f′(x)=2[(x+1)-

1

x+1

]=

2x(x+2)

x+1

，x∈（-1，+∞）…（4分）
由f′(x)=

2x(x+2)

x+1

＞0，x+1＞0得x＞0…（6分）
所以f（x）递增区间是[0，+∞）…（7分）
（Ⅱ）由f'（x）＜0，x+1＞0，得-1＜x＜0．所以f（x）递减区间是（-1，0）．…（9分）
∴f（x）在[

1

e

-1，0)上递减，在[0，e-1]上递增．…（11分）
又f（

1

e

-1）=

1

e 2

+2，f（e-1）=e²-2，
且e²-2＞

1

e 2

+2．
∴当x∈[

1

e

-1，e-1]时，[f（x）]_max=e²-2…（14分）

点评：本题考查了函数的单调性，利用导数判断函数的单调性的步骤是：（1）确定函数的定义域；（2）求导数fˊ（x）；（3）在函数的定义域内解不等式fˊ（x）＞0和fˊ（x）＜0；（4）确定函数的单调区间．若在函数式中含字母系数，往往要分类讨论．