Question

（2012•眉山一模）设函数f（x）对其定义域内的任意实数x1与x2都有f(

x1+x2

2

)≥

f(x1)+f(x2)

2

，则称函数f（x）为上凸函数． 若函数f（x）为上凸函数，则对定义域内任意x₁、x₂、x₃，…，x_n都有f(

x1+x2+…+xn

n

)≥

f(x1)+f(x2)+…+f(xn)

n

（当x₁=x₂=x₃=…=x_n时等号成立），称此不等式为琴生不等式，现有下列命题：
①f（x）=lnx（x＞0）是上凸函数；
②二次函数f（x）=ax²+bx+c（a≠0）是上凸函数的充要条件是a＞0；
③f（x）是上凸函数，若A（x₁，f（x₁）），B（x₂，f（x₂））是f（x）图象上任意两点，点C在线段AB上，且

AC

=λ

CB

，则f(

x1+λx2

1+λ

)≥

f(x1)+λf(x2)

1+λ

；
④设A，B，C是一个三角形的三个内角，则sinA+sinB+sinC的最大值是

3 3

2

．
其中，正确命题的序号是

①③④

（写出所有你认为正确命题的序号）．

Answer 1

分析：作图可知①正确，②不正确．对于③，如图，因为f（x）上凸函数，则点C在点D的下方，点C的纵坐标为

f(x1)+λf(x2)

1+λ

，点D的坐标为(

x1+λx2

1+λ

，f(

x1+λx2

1+λ

))，故f(

x1+λx2

1+λ

)≥f(

x1+λx2

1+λ

)．对于④，因为f（x）=sinx在(0，

π

2

)上是凸函数，由琴生不等式知

3

2

≥

sinA+sinB+sinC

3

．

解答：解：作图可知①正确，②不正确．
对于③，如图，因为f（x）上凸函数，则点C在点D的下方，点C的纵坐标为

f(x1)+λf(x2)

1+λ

，
点D的坐标为(

x1+λx2

1+λ

，f(

x1+λx2

1+λ

))，
于是得f(

x1+λx2

1+λ

)≥f(

x1+λx2

1+λ

)，即③正确．
对于④，因为f（x）=sinx在(0，

π

2

)上是凸函数，
由琴生不等式知sin

A+B+C

3

≥

sinA+sinB+sinC

3

，
即

3

2

≥

sinA+sinB+sinC

3

，
所以sinA+sinB+sinC≤

3 3

2

，
当A=B=C时，取④正确．
综上所述，正确命题是①③④．

点评：本题考查命题真假的判断与应用，解题时要认真审题，注意数形结合思想的灵活运用，挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．