Question

11．已知函数f（x）=3^x+k•3^-x为奇函数．
（1）求实数k的值；
（2）若关于x的不等式f（9${\;}^{a{x}^{2}-2x}$-1）+f（1-3^ax-2）＜0只有一个整数解，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）可看出f（x）的定义域为R，而f（x）又是奇函数，从而有f（0）=0，这样便可求出k=-1；
（2）得出f（x）=3^x-3^-x，求导数并可判断f′（x）＞0，从而得出f（x）在R上单调递增，从而可以由$f（{9}^{a{x}^{2}+2x}-1）+f（1-{3}^{ax-2}）＜0$得到${9}^{a{x}^{2}-2x}-1＜{3}^{ax-2}-1$，进一步便可得出（2x-1）（ax-2）＜0．而由该不等式只有一个整数解便可得到a＞0，并得到前面不等式的解为$（\frac{1}{2}，\frac{2}{a}）$，这样便可得出$1＜\frac{2}{a}≤2$，解该不等式即可得出实数a的取值范围．

解答 解：（1）f（x）定义域为R，f（x）为奇函数；
∴f（0）=1+k=0；
∴k=-1；
（2）f（x）=3^x-3^-x，f′（x）=3^xln3+3^-xln3＞0；
∴f（x）在R上单调递增；
又f（x）为奇函数；
∴由$f（{9}^{a{x}^{2}-2x}-1）+f（1-{3}^{ax-2}）＜0$得，$f（{9}^{a{x}^{2}-2x}-1）＜f（{3}^{ax-2}-1）$；
∴${9}^{a{x}^{2}-2x}-1＜{3}^{ax-2}-1$；
∴${3}^{2（a{x}^{2}-2x）}＜{3}^{ax-2}$；
∴2x（ax-2）＜ax-2；
∴（2x-1）（ax-2）＜0，该不等式只有一个整数解；
∴a＞0；
∴上面不等式变成$（x-\frac{1}{2}）（x-\frac{2}{a}）＜0$；
∵上面不等式只有一个整数解；
∴该不等式的解为（$\frac{1}{2}，\frac{2}{a}$）；
∴$1＜\frac{2}{a}≤2$；
解得1≤a＜2；
∴实数a的取值范围为[1，2）．

点评 考查奇函数的概念，奇函数f（x）在原点有定义时，f（0）=0，根据导数符号判断一个函数单调性的方法，根据单调性定义解不等式，指数函数的单调性，以及一元二次不等式的解法，分式不等式的解法．