Question

20．定义在R上的奇函数f（x），对任意a，b∈R，a+b≠0，都有$\frac{f（a）+f（b）}{a+b}$＞0．
（1）试证明f（x）为R上的增函数；
（2）若不等式f（kx²-6）+f（k-2x）＜0在k∈[-1，1]上恒成立，求x的取值范围．

Answer 1

分析 （1）运用奇函数的定义和单调性的定义，即可得证；
（2）由题意可得不等式f（kx²-6）+f（k-2x）＜0即为f（kx²-6）＜-f（k-2x）=f（2x-k），由f（x）在R上递增，可得kx²-6＜2x-k，构造函数g（k）=k（x²+1）-6-2x，由一次函数的单调性，可得g（-1）＜0，g（1）＜0，解之即可得到所求范围．

解答 解：（1）证明：定义在R上的奇函数f（x），可得f（-x）=-f（x），
可令a=x₁，b=-x₂，即有$\frac{f（{x}_{1}）+f（-{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0，
即$\frac{f（{x}_{1}）-f（{x}_{2}）}{{x}_{1}-{x}_{2}}$＞0，当x₁＜x₂时，f（x₁）＜f（x₂），
则f（x）在R上递增；
（2）不等式f（kx²-6）+f（k-2x）＜0即为
f（kx²-6）＜-f（k-2x）=f（2x-k），
由f（x）在R上递增，可得kx²-6＜2x-k，
即k（x²+1）-6-2x＜0，设g（k）=k（x²+1）-6-2x，
由k∈[-1，1]上恒成立，可得
$\left\{\begin{array}{l}{g（-1）＜0}\\{g（1）＜0}\end{array}\right.$即为$\left\{\begin{array}{l}{-{x}^{2}-2x-7＜0}\\{{x}^{2}-2x-5＜0}\end{array}\right.$
即$\left\{\begin{array}{l}{x∈R}\\{1-\sqrt{6}＜x＜1+\sqrt{6}}\end{array}\right.$，解得1-$\sqrt{6}$＜x＜1+$\sqrt{6}$．
则x的范围是（1-$\sqrt{6}$，1+$\sqrt{6}$）．

点评 本题考查函数的单调性的判断和证明，以及运用：解不等式，考查不等式恒成立问题的解法，注意主元思想的运用，考查运算能力，属于中档题和易错题．