Question

9．在△ABC中，角A，B，C所对的边为a，b，c，已知a=2c，且A-C=$\frac{π}{2}$．
（1）求cosC的值；
（2）当b=1时，求c．

Answer 1

分析 （1）由条件得出sinA=sin（C+$\frac{π}{2}$）=cosC=2sinC，结合sin²C+cos²C=1求cosC的值；
（2）当b=1时，由余弦定理求c．

解答 解：（1）A-C=$\frac{π}{2}$，则A=C+$\frac{π}{2}$，
a=2c，由正弦定理得sinA=2sinC，
∴sinA=sin（C+$\frac{π}{2}$）=cosC=2sinC①
又sin²C+cos²C=1②，
由①②得cosC=±$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
根据条件得cosC=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$；
（2）由余弦定理c²=a²+1-2a•$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴c²=4c²+1-4c•$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，
∴3c²-$\frac{8\sqrt{5}}{5}$c+1=0，
∴c=$\frac{\sqrt{5}}{3}$（小角对小边）．

点评 本题考查正弦定理、余弦定理的运用，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．