Question

5．在△ABC中，D，E分别是BC，AC的中点．M为AD与BE的交点，求证：点M分别将线段AD，BE分成2：1的两部分．（要求用向量方法．）

Answer 1

分析 设$\overrightarrow{AM}=x\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{BM}=y\overrightarrow{BE}$，由已知条件利用平面向量基本定理得x=y=$\frac{2}{3}$，由此能证明点M分别将线段AD，BE分成2：1的两部分．

解答 解：如图，设$\overrightarrow{AM}=x\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{BM}=y\overrightarrow{BE}$，
∵D是BC的中点，
∴$\overrightarrow{AD}=\frac{1}{2}（\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}）$，∴$\overrightarrow{AM}=\frac{x}{2}\overrightarrow{AB}+\frac{x}{2}\overrightarrow{AC}$，
又E为AC的中点，∴$\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AE}$=-$\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}$，
∴$\overrightarrow{AM}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BM}$=$\overrightarrow{AB}+y\overrightarrow{BE}$=$\overrightarrow{AB}+y（-\overrightarrow{AB}+\frac{1}{2}\overrightarrow{AC}）$
=（1-y）$\overrightarrow{AB}+\frac{y}{2}\overrightarrow{AC}$，
∵$\overrightarrow{AB}，\overrightarrow{AC}$不共线，由平面向量基本定理得：
$\left\{\begin{array}{l}{\frac{x}{2}=1-y}\\{\frac{x}{2}=\frac{y}{2}}\end{array}\right.$，解得x=y=$\frac{2}{3}$，
∴$\overrightarrow{AM}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AD}$，$\overrightarrow{BM}=\frac{2}{3}\overrightarrow{BE}$，即$\overrightarrow{AM}=2\overrightarrow{MD}$，$\overrightarrow{BM}=2\overrightarrow{ME}$，
∴点M分别将线段AD，BE分成2：1的两部分．

点评 本题考查点分别将两线段分成2：1的两部分的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法和平面向量基本定理的合理运用．