Question

如图所示铁路线上AB线段长100km，工厂C到铁路线上A处的垂直距离CA为20km．现在要在AB上选一点D，从D向C修一条直线公路．已知铁路运输每吨千米与公路运输每吨千米的运费之比为3：5，为了使原料从B处运到工厂C的运费最省，D应选在何处？

Answer 1

分析：设∠CDA=α，铁路和公路每公里的运费分别为3K和5K，则DA=

20

tanα

，CD=

20

sinα

，进而可表示出总运费，再利用导数的方法，可求运费最省时，D的位置．

解答：解：设∠CDA=α，总运费为y，铁路和公路每公里的运费分别为3K和5K，
则DA=

20

tanα

，CD=

20

sinα

∴BD=100-

20

tanα

∴y=3K（100-

20

tanα

）+5K×

20

sinα

=300K+20K×

5-3cosα

sinα

∵y′=20K×

3-5cosα

sin2α

令y′=20K×

3-5cosα

sin2α

=0，可得cosα=

3

5

令y′=20K×

3-5cosα

sin2α

＞0，可得cosα＜

3

5

，令y′=20K×

3-5cosα

sin2α

＜0，可得cosα＞

3

5

从而可知，当cosα=

3

5

时，函数取得极小值，而且就是函数的最小值
此时，sinα=

4

5

，tanα=

4

3

，DA=

20

tanα

=15km
即D离A点15km．

点评：本题以实际问题为载体，考查函数模型的构建，考查导数知识的运用，选择适当的参数是解题的关键．