Question

6．已知函数f（x）=ax²+2x+c（x∈R），满足f（x+1）=ax²+4．
（1）求f（x）的解析式；
（2）当x∈[-2，2]时，g（x）=f（x）-kx是单调函数，求实数k的取值范围；
（3）函数h（x）=f（x）-（x+$\frac{1}{x}$）+m（x＞0）是否存在两个零点？若存在求实数m的取值范围；若不存在请说明理由．

Answer 1

分析 （1）根据f（x+1）=ax²+4，结合多项式相等的充要条件，可得a，c的值，进而得到f（x）的解析式；
（2）当x∈[-2，2]时，g（x）=f（x）-kx是单调函数，则$\frac{2-k}{2}$≤-2，或$\frac{2-k}{2}$≥2，解得实数k的取值范围；
（3）函数h（x）=f（x）-（x+$\frac{1}{x}$）+m（x＞0）存在两个零点，即函数f（x）与函数y=（x+$\frac{1}{x}$）-m的图象在x轴右侧有两个交点，结合二次函数和对勾函数的图象和性质，可得答案．

解答 解：（1）∵函数f（x）=ax²+2x+c（x∈R），满足f（x+1）=ax²+4．
∴a（x+1）²+2（x+1）+c=ax²+4．
即ax²+（2a+2）x+a+2+c=ax²+4，
解得：a=-1，c=3，
∴f（x）=-x²+2x+3，
（2）∵g（x）=f（x）-kx=-x²+（2-k）x+3的图象是开口朝下，且以直线x=$\frac{2-k}{2}$为对称轴的抛物线，
若当x∈[-2，2]时，g（x）是单调函数，
则$\frac{2-k}{2}$≤-2，或$\frac{2-k}{2}$≥2，
解得：k≤-2，或k≥6；
（3）若函数h（x）=f（x）-（x+$\frac{1}{x}$）+m（x＞0）存在两个零点，
则方程f（x）=（x+$\frac{1}{x}$）-m（x＞0）存在两个正根，
即函数f（x）与函数y=（x+$\frac{1}{x}$）-m的图象在x轴右侧有两个交点，
由函数f（x）的图象是开口朝下，且以直线x=1为对称轴的抛物线，当x=1时，函数取最大值4；
函数y=（x+$\frac{1}{x}$）-m在（0，1）上为减函数，在（1，+∞）上为增函数，当x=1时，函数取最小值2-m，
故2-m≤4，解得：m≥-2．

点评 本题考查的知识点是二次函数的图象和性质，熟练掌握二次函数的图象和性质，是解答的关键．