Question

已知函数f（x）=

ax2+1

bx+c

（a，c∈R，b∈N，a＞0，b＞0）是奇函数，在区间（0，+∞）上，函数有最小值2，且f（1）＜

5

2

．
（1）求f（x）的解析式．
（2）函数f（x）图象上是否存在两点关于点（1，0）对称？若存在，求出这些点的坐标；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据函数的奇偶性得到c=0，进而求出函数的表达式；（2）假设存在，得到方程式解出即可．

解答： 解：（1）因为函数f（x）=

ax2+1

bx+c

是奇函数，
所以f（-x）=-f（x），即

ax2+1

-bx+c

=-

ax2+1

bx+c

，化简得c=0．
因为a＞0，b＞0，所以当x∈（0，+∞）时，
f（x）=

ax

b

+

1

bx

≥2

ax b • 1 bx

=2

a b2

=2，
当且仅当

ax

b

=

1

bx

，即x=

1

a

时，等号成立，
所以a=b²，f（x）=bx+

1

bx

．
由f（1）=b+

1

b

＜

5

2

，解得

1

2

＜b＜2．
又b∈N，所以b=1，a=b²=1．故f（x）=

x2+1

x

．
（2）设存在两点P₁（x₁，y₁），P₂（x₂，y₂）关于点（1，0）对称，
则有①

x1+x2 2 =1 y1+y2 2 =0.

②

y1=x1+ 1 x1 y2=x2+ 1 x2 .

②代人①化简，得

x1+x2=2 x1x2=-1

解得

x1=1+ 2 x2=1- 2

或

x1=1- 2 x2=1+ 2 .

所以存在点（1+

2

，2

2

）、（1-

2

，-2

2

）关于点（1，0）对称．

点评：本题考查了函数的奇偶性，考查了对称性问题，是一道中档题．