Question

抛物线y=g（x）过点O（0，0）、A（m，0）与点P（m+1，m+1），其中m＞n＞0，b＜a，设函数f（x）=（x-n）g（x）在x=a和x=b处取到极值．
（1）用m，x表示y=g（x）并比较a，b，m，n的大小（要求按从小到大排列）；
（2）若，且过原点存在两条互相垂直的直线与曲线y=f（x）均相切，求y=f（x）．

Answer 1

【答案】分析：（1）设抛物线方程，利用抛物线过点P，可得k=1，从而可得y=g（x）=x（x-m），利用函数f（x）在x=a和x=b处取到极值，结合m＞n＞0，即可比较a，b，m，n的大小；
（2）设切点Q（x，y），求导数，可得切线的方程，利用切线过原点，得两条两条切线的斜率，根据，两条切线垂直，即可求得函数解析式．
解答：解：（1）由抛物线经过点O（0，0）、A（m，0）
设抛物线方程y=kx（x-m）（k≠0），
又抛物线过点P（m+1，m+1），则m+1=k（m+1）（m+1-m），得k=1，
所以y=g（x）=x（x-m）．              …（3分）
∴f（x）=（x-n）g（x）=x³-（m+n）x²+mnx，
∴f′（x）=3x²-2（m+n）x+mn，
∵函数f（x）在x=a和x=b处取到极值，…（5分）
∴f′（a）=0，f′（b）=0，
∵m＞n＞0，
∴f′（m）=3m²-2（m+n）m+mn=m（m-n）＞0    …（7分）
f′（n）=3n²-2（m+n）n+mn=n（n-m）＜0，
又b＜a，故b＜n＜a＜m．                                    …（8分）
（2）设切点Q（x，y），则切线的斜率k=f′（x）=3x²-2（m+n）x+mn
又y=-（m+n）+mnx，所以切线的方程是y-+（m+n）-mnx=[3x²-2（m+n）x+mn]（x-x）…（9分）
又切线过原点，故-+（m+n）-mnx=[3x²-2（m+n）x+mn]（-x）
所以2-（m+n）=0，解得x=0，或x=．      …（10分）
两条切线的斜率为k₁=f′（0）=mn，，
由，得（m+n）²≥8，∴，
∴，
所以…（12分）
又两条切线垂直，故k₁k₂=-1，
所以上式等号成立，有，且mn=1．
所以f（x）=x³-（m+n）x²+mnx=x³-x²+x．           …13 分
点评：本题考查导数知识的运用，考查导数的几何意义，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题．