Question

16．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}+\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），ab=2$\sqrt{3}$，离心率为$\frac{\sqrt{6}}{3}$．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过椭圆的右焦点F作斜率为k的直线l交椭圆于A、B两点，P为直线x=3上的一点，若△ABP为等边三角形，求直线l的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过ab=2$\sqrt{3}$、e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$直接计算即可；
（Ⅱ）通过设直线l方程为：y=k（x-2）并与椭圆方程联立，利用韦达定理可得|AB|=$\frac{2\sqrt{6}（1+{k}^{2}）}{1+3{k}^{2}}$、AB的中点M（$\frac{6{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}$，-$\frac{2k}{1+3{k}^{2}}$），利用直线MP的斜率为-$\frac{1}{k}$且x_P=3可得|MP|=$\sqrt{1+\frac{1}{{k}^{2}}}$•$\frac{3（1+{k}^{2}）}{1+3{k}^{2}}$，通过|MP|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$|AB|计算即得结论．

解答 解：（Ⅰ）∵ab=2$\sqrt{3}$，e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}}{a}$=$\frac{\sqrt{6}}{3}$，
∴a²=6，b²=2，
∴椭圆的方程为：$\frac{{x}^{2}}{6}+\frac{{y}^{2}}{2}=1$；
（Ⅱ）由（I）知椭圆的右焦点F（2，0），
设直线l方程为：y=k（x-2），
联立直线l与椭圆方程，消去y整理得：
（1+3k²）x²-12k²x+12k²-6=0，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
则x₁•x₂=$\frac{12{k}^{2}-6}{1+3{k}^{2}}$，x₁+x₂=$\frac{12{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}$，
∴|AB|=$\sqrt{1+{k}^{2}}$|x₁-x₂|=$\frac{2\sqrt{6}（1+{k}^{2}）}{1+3{k}^{2}}$，
设AB的中点为M（x₀，y₀），则x₀=$\frac{1}{2}$（x₁+x₂）=$\frac{6{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}$，
y₀=$\frac{1}{2}$（y₁+y₂）=$\frac{k（{x}_{1}+{x}_{2}）-4k}{2}$=-$\frac{2k}{1+3{k}^{2}}$，
即有M（$\frac{6{k}^{2}}{1+3{k}^{2}}$，-$\frac{2k}{1+3{k}^{2}}$），
若△ABP为等边三角形，则直线MP的斜率为-$\frac{1}{k}$，且x_P=3，
∴|MP|=$\sqrt{1+\frac{1}{{k}^{2}}}$|x₀-x_P|=$\sqrt{1+\frac{1}{{k}^{2}}}$•$\frac{3（1+{k}^{2}）}{1+3{k}^{2}}$，
∵|MP|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$|AB|，
∴$\sqrt{1+\frac{1}{{k}^{2}}}$•$\frac{3（1+{k}^{2}）}{1+3{k}^{2}}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$•$\frac{2\sqrt{6}（1+{k}^{2}）}{1+3{k}^{2}}$，
解得k=±1，
∴直线l的方程为：y=±（x-2），
∴所求直线方程为：x-y-2=0或x+y-2=0．

点评 本题是一道直线与圆锥曲线的综合题，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．