Question

8．通过市场调查，得到某产品的资金投入x（万元）与获得的利润y（万元）的数据，如表所示：

资金投入 x	2	3	4	5	6
利润y	2	3	5	7	8

（1）画出表中数据对应的散点图；
（2）根据上表提供的数据，用最小二乘法求线性回归直线方程$\stackrel{∧}{y}$=$\stackrel{∧}{b}$x+$\stackrel{∧}{a}$；
（3）现投入资金15（万元），估计获得的利润为多少万元？
参考公式：
用最小二乘法求线性回归方程系数公式：$\stackrel{∧}{b}$=$\frac{\sum_{i-1}^{n}{x}_{i}{y}_{i}-n\overline{x}\overline{y}}{\sum_{i-1}^{n}{x}_{i}^{2}-n{\overline{x}}^{2}}$，$\stackrel{∧}{a}$=$\overline{y}$=$\stackrel{∧}{b}$$\overline{x}$．

Answer 1

分析 （1）根据所给的五对数据，在坐标系中描出对应的点，画出散点图，可以看出这组数据是线性相关的关系．
（2）作出横标和纵标的平均数，得到样本中心点的坐标，利用最小二乘法作出线性回归方程的系数，得到方程．
（3）把所给的x的值代入线性回归方程，求出y的预报值，得到投入资金15（万元），估计获得的利润为22.6万元．

解答 解：（1）由x、y的数据可得对应的散点图为：…（3分）
（2）由题意，$\overline{x}$=4，$\overline{y}$=5，…（5分）
b=$\frac{2×2+3×3+4×5+5×7+6×8-5×4×5}{4+9+16+25+36-5×16}$=1.6，…（9分）
∴a=5-1.6×4=-1.4，即$\stackrel{∧}{y}$=1.6x-1.4．…（11分）
（3）由（2）可得，当x=15，$\stackrel{∧}{y}$=22.6．…（13分）
∴投入资金15（万元）时，估计获得的利润为22.6万元．…（14分）

点评 本题考查线性回归方程，是一个中档题，本题解题的关键是正确利用最小二乘法来计算线性回归方程的系数．