Question

3．已知α，β为锐角，sinα=$\frac{1}{7}$，cos（α+β）=$\frac{3}{5}$．
（Ⅰ）求sin（α+$\frac{π}{6}$）的值；
（Ⅱ）求cosβ的值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由α的范围和平方关系求出sinα，再由两角和的正弦函数求出sin（α+$\frac{π}{6}$）的值；
（Ⅱ）由α，β为锐角得α+β∈（0，π），由平方关系求出sin（α+β），再由两角差的余弦函数求出cosβ=cos[（α+β）-α]的值．

解答 解：（Ⅰ）∵α为锐角，sinα=$\frac{1}{7}$，
∴cosα=$\sqrt{1-si{n}^{2}α}$=$\frac{4\sqrt{3}}{7}$，
∴sin（α+$\frac{π}{6}$）=sinαcos$\frac{π}{6}$+cosαsin$\frac{π}{6}$）
=$\frac{1}{7}×\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{4\sqrt{3}}{7}×\frac{1}{2}$=$\frac{5\sqrt{3}}{14}$；
（Ⅱ）∵α，β为锐角，∴α+β∈（0，π），
由cos（α+β）=$\frac{3}{5}$得，sin（α+β）=$\sqrt{1-{cos}^{2}（α+β）}$=$\frac{4}{5}$，
∴cosβ=cos[（α+β）-α]=cos（α+β）cosα+sin（α+β）sinα
=$\frac{3}{5}×\frac{4\sqrt{3}}{7}+\frac{4}{5}×\frac{1}{7}$=$\frac{4+12\sqrt{3}}{35}$．

点评 本题考查由两角和与差的正弦、余弦函数，以及平方关系的应用，注意角的范围和角之间的关系，属于中档题．