Question

12．对于任意x∈R，令[x]为不大于x的最大整数，则函数f（x）=[x]称为高斯函数或取整函数．若数列{a_n}满足${a_n}=f（\frac{n}{4}）$（n∈N⁺），且数列{a_n}的前n项和为S_n，则S_4n等于2n²-n．

Answer 1

分析 数列{a_n}满足${a_n}=f（\frac{n}{4}）$=$[\frac{n}{4}]$，可得a_4n-3=$[\frac{4n-3}{4}]$=$[n-1+\frac{1}{4}]$=n-1，同理可得a_4n-2=n-1，a_4n-1=n-1，a_4n=n．即可得出S_4n．

解答 解：∵数列{a_n}满足${a_n}=f（\frac{n}{4}）$=$[\frac{n}{4}]$，
∴a_4n-3=$[\frac{4n-3}{4}]$=$[n-1+\frac{1}{4}]$=n-1，
同理可得a_4n-2=n-1，a_4n-1=n-1，a_4n=n．
∴S_4n=（a₁+a₂+a₃+a₄）+（a₄₊₁+a₄₊₂+a₄₊₃+a₄₊₄）+…+（a_4n-3+a_4n-2+a_4n-1+a_4n）
=（0×3+1）+（1×3+2）+（2×3+3）+…+[（n-1）×3+n]
=$3×\frac{（n-1）×n}{2}$+$\frac{n（n+1）}{2}$
=2n²-n．
故答案为：2n²-n．

点评 本题考查了新定义高斯函数、等差数列的前n项和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．