Question

6．已知f（x）=2asinωxcosωx+2$\sqrt{3}{cos^2}ωx-\sqrt{3}（{a＞0，ω＞0}）$的最大值为2，且最小正周期为π．
（1）求函数f（x）的解析式及其对称轴方程；
（2）若$f（{α-\frac{π}{6}}）=\frac{4}{3}$，求cos4α的值．

Answer 1

分析 （1）由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f（x）=$\sqrt{{a}^{2}+3}$sin（2ωx+φ），（其中，tanφ=$\frac{\sqrt{3}}{a}$），由f（x）的最大值为$\sqrt{{a}^{2}+3}$=2，解得a=1．又最小正周期为π．利用周期公式可得解得ω=1，即可得函数解析式，由2x+$\frac{π}{3}$=k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z可解得对称轴方程．
（2）由$f（{α-\frac{π}{6}}）=\frac{4}{3}$，利用（1）结论可得sin2α=$\frac{2}{3}$，根据二倍角的余弦函数公式即可求值．

解答 解：（1）∵f（x）=2asinωxcosωx+2$\sqrt{3}{cos^2}ωx-\sqrt{3}（{a＞0，ω＞0}）$
=asin2ωx+$\sqrt{3}$cos2ωx
=$\sqrt{{a}^{2}+3}$sin（2ωx+φ），（其中，tanφ=$\frac{\sqrt{3}}{a}$），
∵f（x）的最大值为$\sqrt{{a}^{2}+3}$=2，解得：a=1．
又∵最小正周期为π．利用周期公式可得：$π=\frac{2π}{2ω}$，解得ω=1．
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{3}$），
∴由2x+$\frac{π}{3}$=k$π+\frac{π}{2}$，k∈Z可解得对称轴方程为：x=$\frac{kπ}{2}+\frac{π}{12}$，k∈Z．
（2）∵$f（{α-\frac{π}{6}}）=\frac{4}{3}$，
∴2sin[2（$α-\frac{π}{6}$）+$\frac{π}{3}$]=2sin2α=$\frac{4}{3}$，解得：sin2α=$\frac{2}{3}$．
∴cos4α=1-2sin²2α=1-2×$\frac{4}{9}$=$\frac{1}{9}$．

点评 本题主要考查了三角函数中的恒等变换应用，三角函数周期公式的应用，正弦函数的图象和性质，属于基本知识的考查．