Question

16．已知公差不为零的等差数列{a_n}中，a₃=7，且a₁，a₄，a₁₃成等比数列．
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）令b_n=$\frac{1}{{{a_n}^2-1}}$（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和S_n．

Answer 1

分析 （Ⅰ）通过将已知各项用首项和公差表示，利用已知条件计算即得结论；
（Ⅱ）通过裂项可知b_n=$\frac{1}{4}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+1}$），并项相加即得结论．

解答 解：（Ⅰ）设数列{a_n}的公差为d．
∵$\left\{{\begin{array}{l}{{a_3}=7}\\{{a_1}•{a_{13}}={a_4}^2}\end{array}}\right.$，
∴$\left\{{\begin{array}{l}{{a_1}+2d=7}\\{{a_1}（{a_1}+12d）={{（{a_1}+3d）}^2}}\end{array}}\right.$，
解得：d=2或d=0（舍），
∴a₁=3，
∴a_n=2n+1（n∈N^*）；
（Ⅱ）∵a_n=2n+1，
∴${b_n}=\frac{1}{{{{（2n+1）}^2}-1}}=\frac{1}{4n（n+1）}=\frac{1}{4}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
∴${S_n}=\frac{1}{4}[{（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）+…（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）}]$=$\frac{1}{4}（1-\frac{1}{n+1}）=\frac{n}{4（n+1）}$（n∈N^*）．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．