Question

18．数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a₁=1，2S_n=（n+1）a_n．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）求和T_n=$\frac{1}{{{a}_{2}}^{2}-1}$+$\frac{1}{{{a}_{3}}^{2}-1}$+$\frac{1}{{{a}_{4}}^{2}-1}$+…+$\frac{1}{{{a}_{n+1}}^{2}-1}$．

Answer 1

分析 （1）利用2a_n+1=2S_n+1-2S_n整理得$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n+1}{n}$，累乘即得结论；
（2）通过a_n=n、裂项可知$\frac{1}{{{a}_{n+1}}^{2}-1}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），并项相加即得结论．

解答 解：（1）∵2S_n=（n+1）a_n，
∴2S_n+1=（n+2）a_n+1，
两式相减得：2a_n+1=（n+2）a_n+1-（n+1）a_n，
整理得：$\frac{{a}_{n+1}}{{a}_{n}}$=$\frac{n+1}{n}$，
∴$\frac{{a}_{2}}{{a}_{1}}$=$\frac{1+1}{1}$=2，
$\frac{{a}_{3}}{{a}_{2}}$=$\frac{1+2}{2}$=$\frac{3}{2}$，
…
$\frac{{a}_{n}}{{a}_{n-1}}$=$\frac{1+n-1}{n-1}$=$\frac{n}{n-1}$，
累乘得：$\frac{{a}_{n}}{{a}_{1}}$=n，
又∵a₁=1，
∴a_n=n•a₁=n；
（2）∵a_n=n，
∴$\frac{1}{{{a}_{n+1}}^{2}-1}$=$\frac{1}{（n+1）^{2}-1}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$），
∴T_n=$\frac{1}{{{a}_{2}}^{2}-1}$+$\frac{1}{{{a}_{3}}^{2}-1}$+$\frac{1}{{{a}_{4}}^{2}-1}$+…+$\frac{1}{{{a}_{n+1}}^{2}-1}$
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{n}$-$\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{n+2}$）
=$\frac{n+1}{2n+4}$．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．