Question

14．已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=2ⁿ⁺¹-2，数列{b_n}满足b₁=1，b_n+1=b_n+2，n∈N^*．
（1）求数列{a_n}、{b_n}的通项公式；
（2）若c_n=a_nb_n，n∈N^*，求数列{c_n}的前n项和T_n．

Answer 1

分析 （1）利用a_n+1=S_n+1-S_n计算可知a_n+1=2ⁿ⁺¹，进而可知数列{a_n}的通项a_n=2ⁿ；通过b_n+1=b_n+2、b₁=1计算即可；
（2）通过a_n=2ⁿ、b_n=2n-1可知c_n=（2n-1）2ⁿ，n∈N^*，利用错位相减法计算即得结论．

解答 解：（1）∵S_n=2ⁿ⁺¹-2，
∴S_n+1=2ⁿ⁺²-2，
∴a_n+1=S_n+1-S_n=（2ⁿ⁺²-2）-（2ⁿ⁺¹-2）=2ⁿ⁺¹，
又∵a₁=S₁=2²-2=2满足上式，
∴数列{a_n}的通项a_n=2ⁿ；
∵b_n+1=b_n+2，b₁=1，
∴数列{b_n}是以1为首项、2为公差的等差数列，
∴b_n=b₁+（n-1）d=1+2（n-1）=2n-1；
（2）∵a_n=2ⁿ，b_n=2n-1，
∴c_n=a_nb_n=（2n-1）2ⁿ，n∈N^*，
∴T_n=1•2¹+3•2²+5•2³+…+（2n-1）•2ⁿ，
2T_n=1•2²+3•2³+…+（2n-3）•2ⁿ+（2n-1）•2ⁿ⁺¹，
两式相减得：-T_n=2¹+2（2²+2³+…+2ⁿ）-（2n-1）•2ⁿ⁺¹
=2+2•$\frac{{2}^{2}（1-{2}^{n-1}）}{1-2}$-（2n-1）•2ⁿ⁺¹
=-6-（2n-3）•2ⁿ⁺¹，
∴T_n=6+（2n-3）•2ⁿ⁺¹．

点评 本题考查数列的通项及前n项和，考查运算求解能力，注意解题方法的积累，属于中档题．