Question

下列命题：
（1）存在实数x，使sinx+cosx=

3

2

；
（2）若α，β是第一象限角，且α＞β，则cosα＜cosβ；
（3）函数y=sin(

2

3

x+

7π

2

)是偶函数；
（4）若cosαcosβ=1，则sin（α+β）=0．
其中，正确命题的序号是

（3）（4）

．

Answer 1

分析：根据辅助角公式，我们可将sinx+cosx化为

2

sin（x+

π

2

），再由正弦型函数的值域，可以判断（1）的真假；根据象限角的定义，可以判断（2）的真假；根据诱导公式，及余弦型函数的性质，可以判断（3）的真假，根据余弦型函数的值域，同角三角函数的关系，及两角和的正弦公式，可以判断（4）的真假，进而得到答案．

解答：解：∵sinx+cosx=

2

sin（x+

π

2

）∈[-

2

，

2

]，故（1）存在实数x，使sinx+cosx=

3

2

为假命题；
由于第一象限的角具有周期性，不一定在余弦函数同一单调区间上，故无法判断α＞β时，cosα与cosβ的大小，故（2）为假命题；
函数y=sin(

2

3

x+

7π

2

)=-cos

2

3

x为偶函数，故（3）为真命题；
若cosαcosβ=1，则cosα=cosβ=1，或cosα=cosβ=-1，此时sinα=sinβ=0，易得sin（α+β）=0，故（4）真命题；
故答案为：（3），（4）

点评：本题考查的知识点是命题的真假判断与应用，正弦函数的奇偶性，余弦函数的单调性，其中熟练掌握三角函数的性质及相关的公式，判断出各命题的真假是解答本题的关键．