Question

（2007•长宁区一模）给出下列命题：
（1）存在实数α使sinα+cosα=

3

2

．
（2）直线x=-

π

2

是函数y=sinx图象的一条对称轴．
（3）y=cos（cosx）（x∈R）的值域是[cos1，1]．
（4）若α，β都是第一象限角，且α＞β，则tanα＞tanβ．
其中正确命题的题号为（　　）

A．（1）（2）

B．（2）（3）

C．（3）（4）

D．（1）（4）

Answer 1

分析：（1）利用辅助角公式将sinα+cosα=

2

 sin(α+

π

4

)可判断（1）；
（2）根据函数y=sinx图象的对称轴方程可判断（2）；
（3）根据余弦函数的性质可求出y=cos（cosx）（x∈R）的最大值与最小值，从而可判断（3）的正误；
（4）用特值法令α，β都是第一象限角，且α＞β，可判断（4）．

解答：解：（1）∵sinα+cosα=

2

sin(α+

π

4

)＜

3

2

，∴（1）错误；
（2）∵y=sinx图象的对称轴方程为x=kπ+

π

2

(k∈Z)，k=-1，x=-

π

2

，∴（2）正确；
（3）根据余弦函数的性质可得y=cos（cosx）的最大值为y_max=cos0=1，y_min=cos（cos1），其值域是[cos1，1]，（3）正确；
（4）不妨令α=

9

4

π，β=

π

3

，满足α，β都是第一象限角，且α＞β，但tanα＜tanβ，（4）错误；
故选B．

点评：本题考查正弦函数与余弦函数、正切函数的性质，着重考查学生综合运用三角函数的性质分析问题、解决问题的能力，属于中档题．