Question

若曲线C上任意一点与直线l上任意一点的距离都大于1，则称曲线C“远离”直线l，在下列曲线中，“远离”直线l：y=2x的曲线有

 

．（写出所有符合条件的曲线C的编号）
①曲线C：2x-y+

5

=0②曲线C：y=-x²+2x-

9

4

③曲线C：x²+（y-5）²=1④曲线C：y=e^x+1
⑤曲线C：y=lnx-2．

Answer 1

考点：命题的真假判断与应用

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程,简易逻辑

分析：①：利用点到直线的距离公式可得d=

| 5 |

22+1

=1，即可判断出正误；
②：设直线l₁：y=2x+b与曲线C：y=-x²+2x-

9

4

相切，把y=2x+b代入曲线C得x²+

9

4

+b=0，利用△=0，解得b=-

9

4

，再利用点到直线的距离公式可得此时直线l₁与l的距离d，即可判断出正误；
③：求出圆心C（0，5）到直线l的距离d=

5

，可得圆C上的点到l距离的最小值为

5

-1＞1，即可判断出正误；
④：设曲线C上斜率为2的切线的切点为P（x₀，y₀），利用导数的几何意义可得：切线：y-3=2（x-ln2），即：2x-y+3-ln2=0，切线与l的距离d，即可判断出正误；
⑤：设切点为P（x₀，y₀），利用导数的几何意义可得P(

1

2

，-2-ln2)，求出点P到直线l的距离d，即可判断出正误．

解答： 解：对①：∵d=

| 5 |

22+1

=1，∴不合题意；
对②：设直线l₁：y=2x+b与曲线C：y=-x²+2x-

9

4

相切，把y=2x+b代入曲线C得x²+

9

4

+b=0，由△=0-4(

9

4

+b)=0，得b=-

9

4

，此时直线l₁与l的距离d=

9 4

5

=

81 80

＞1，符合题意；
对③：∵圆心C（0，5）到直线l的距离d=

|0-5|

5

=

5

，∴圆C上的点到l距离的最小值为

5

-1＞1，符合题意；
对④：设曲线C上斜率为2的切线的切点为P（x₀，y₀），∵y′=e^x，∴k=y′|x0=ex0=2，∴x₀=ln2，∴P（ln2，3），切线：y-3=2（x-ln2），即：2x-y+3-ln2=0，∴切线与l的距离d=

|3-2ln2|

5

=

|3-ln4|

5

，∵ln4∈（1，2），∴3-ln4∈（1，2），而

5

＞2，∴d＜1，不合题意；
对⑤：设切点为P（x₀，y₀），∵y′=

1

x

，∴k=y′|x=x0=

1

x0

=2，∴x0=

1

2

，∴P(

1

2

，-2-ln2)，∴d=

|1+ln2+2|

5

＞1，符合题意．
故答案为：②③⑤．

点评：本题考查了新“定义”、点到直线的距离公式、利用导数研究切线，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．