Question

如图，已知椭圆C：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的离心率为

2 2

3

，其左、右顶点分别为A₁（-3，0），A₂（3，0）．一条不经过原点的直线l：y=kx+m与该椭圆相交于M、N两点．
（Ⅰ）求椭圆C的方程；
（Ⅱ）若m+k=0，直线A₁M与NA₂的斜率分别为k₁，k₂．试问：是否存在实数λ，使得k₁+λk₂=0？若存在，求λ的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,椭圆的标准方程,直线与圆锥曲线的关系

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：（Ⅰ）利用已知条件求出a=3，通过离心率求出c，然后求出b，即可得到椭圆的方程．
（Ⅱ）解法一：由m+k=0，直线l：y=kx-k，直线恒过定点D（1，0），设直线A₁M的方程为y=k₁（x+3），直线NA₂的方程为y=k₂（x-3）．qc M，N的坐标，由M，D，N三点共线，推出k₂=2k₁，得到k1+(-

1

2

)k2=0，然后判断存在λ=-

1

2

使得使得k₁+λk₂=0．
解法二：由m+k=0知，m=-k，直线l过定点D（1，0），当直线l的倾斜角α→∞时，M→(1，

2 2

3

)，N→(1，-

2 2

3

)，推出k1→

2

6

，k2→

2

3

，λ→

-k1

k2

=-

1

2

，猜想：存在λ=-

1

2

满足条件，下面证明猜想正确 联立方程组

y=k(x-1) x2 9 +y2=1

，设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），通过韦达定理求出k₁，k₂，然后验证是否存在实数λ，使得k₁+λk₂=0．

解答： （本小题满分13分）
解：（Ⅰ）由题设可知a=3
因为e=

2 2

3

即

c

a

=

2 2

3

，所以c=2

2

．又因为b²=a²-c²=9-8=1
所以椭圆C的方程为：

x2

9

+y2=1…（4分）
（Ⅱ）解法一：
由m+k=0知：直线恒过定点D（1，0），…（5分）
设直线A₁M的方程为y=k₁（x+3），直线NA₂的方程为y=k₂（x-3）．
联立方程组

y=k1(x+3) x2 9 +y2=1

，消去y得：(1+9k12)x2+54k1x+81k12-9=0
解得点M的坐标为M(

3-27k12

1+9k12

，

6k1

1+9k12

)．            …（8分）
同理，可解得点N的坐标为N(

27k22-3

1+9k22

，

-6k2

1+9k22

)…（9分）
由M，D，N三点共线，有

6k1 1+9k12

3-27k12 1+9k12 -1

=

- 6k2 1+9k22

27k22-3 1+9k22 -1

，…（10分）
化简得（k₂-2k₁）（18k₁k₂+2）=0．
由题设可知k₁与k₂同号，所以k₂=2k₁，即．k1+(-

1

2

)k2=0…（12分）
所以，存在λ=-

1

2

使得使得k₁+λk₂=0．…（13分）
解法二：
由m+k=0知，m=-k，
直线l方程化为y=k（x-1），所以l过定点D（1，0）…（5分）
当直线l的倾斜角α→∞时，M→(1，

2 2

3

)，N→(1，-

2 2

3

)
此时k1→

2

6

，k2→

2

3

，λ→

-k1

k2

=-

1

2

由此可猜想：存在λ=-

1

2

满足条件，下面证明猜想正确    …（7分）
联立方程组

y=k(x-1) x2 9 +y2=1

⇒(1+9k2)x2-18k2x+9k2-9=0，
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），
则x1+x2=

18k2

1+9k2

，x1•x2=

9k2-9

1+9k2

…（10分）
∵k1=

y1

x1+3

，k2=

y2

x2-3

所以λ=-

1

2

时，k1+λk2=

y1

x1+3

-

1

2

y2

x2-3

=

2k(x1-1)(x2-3)-k(x2-1)(x1+3)

2(x1+3)(x2-3)

k(x1x2-5x2-5x1+9)

2(x1+3)(x2-3)

=

k( 9k2-9 1+9k2 -5 18k2 1+9k2 +9)

2(x1+3)(x2-3)

=

k(9k2-9-90k2+9+81k2)

2(1+9k2)(x1+3)(x2-3)

=0…（12分）
由此可得猜想正确，因此，存在λ=-

1

2

使得k₁+λk₂=0成立      …（13分）

点评：本题考查直线与椭圆方程的综合应用，考查存在性问题的处理方法，椭圆方程的求法，韦达定理的应用，三点共线的充要条件，注意方法二中，极限思想的应用，考查分析问题解决问题的能力．