Question

如图，直二面角D—AB—E中，四边形ABCD是边长为2的正方形，AE=EB，F

为CE上的点，且BF⊥平面ACE.

   （Ⅰ）求证：AE⊥平面BCE；

   （Ⅱ）求二面角B—AC—E的余弦值；

   （Ⅲ）求点D到平面ACE的距离.

Answer 1

（Ⅰ）证明见解析（Ⅱ）（Ⅲ）

解析:

19．解法一：（Ⅰ）平面ACE.   

∵二面角D—AB—E为直二面角，且， 平面ABE.

 

（Ⅱ）连结BD交AC于C，连结FG，

∵正方形ABCD边长为2，∴BG⊥AC，BG=，

平面ACE，

（Ⅲ）过点E作交AB于点O. OE=1.

∵二面角D—AB—E为直二面角，∴EO⊥平面ABCD.

设D到平面ACE的距离为h， 

平面BCE， 

∴点D到平面ACE的距离为

解法二：（Ⅰ）同解法一.

（Ⅱ）以线段AB的中点为原点O，OE所在直

线为x轴，AB所在直线为y轴，过O点平行

于AD的直线为z轴，建立空间直角坐标系

O—xyz，如图.

面BCE，BE面BCE， ，

在的中点，

 设平面AEC的一个法向量为，

则解得

         令得是平面AEC的一个法向量.

         又平面BAC的一个法向量为，

         ∴二面角B—AC—E的大小为

（III）∵AD//z轴，AD=2，∴，

∴点D到平面ACE的距离