Question

正态总体N（0，1）的概率密度函数是f(x)=,x∈R.

（1）求证：ｆ（ｘ）是偶函数；

（2）求ｆ（ｘ）的最大值；

（3）利用指数函数的性质说明ｆ（ｘ）的增减性.

Answer 1

思路分析： 对给出的标准正态分布的概率密度函数，可以利用函数的相关知识来研究它的相关性质.

解：（1）对于任意的x∈R,f(-x)===f(x).

所以ｆ（ｘ）是偶函数；

（2）令z=,当ｘ=0时，z=0,e^x=1,

∵e^x是关于ｚ的增函数，当ｘ≠0时，z＞0,e^x＞1，

∴当ｘ=0，即ｚ=0时，=e^x取得最小值，当ｘ=0时，f(x)=取得最大值

（3）任取x₁＜0,x₂＜0,且x₁＜x₂,有x₁²＞x₂²,

∴

所以,即f(x₁)＜f(x₂).

    这表明当ｘ＜0时，ｆ（ｘ）是递增的.同理可得，对于任取的x₁＞0,x₂＞0,且x₁＜x₂，有f（x₁）＞f(x₂)，即当ｘ＞0时，ｆ（ｘ）是递减的.