Question

设函数f（x）=2sin（x-

π

3

）cosx．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）讨论f（x）在[0，

π

2

]的单调性．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用两角和与差的正弦函数公式化简，整理后再利用二倍角的正弦、余弦函数公式化简为一个角的正弦函数，找出ω的值，代入周期公式即可求出f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）根据正弦函数的单调性列出关于x的不等式，求出不等式的解集确定出f（x）的单调区间，即可得出f（x）在[0，

π

2

]的单调性．

解答：解：（I）f（x）=2（

1

2

sinx-

3

2

cosx）cosx=sinxcosx-

3

cos²x=

1

2

sin2x-

3

2

cos2x-

3

2

=sin（2x-

π

3

）-

3

2

，
∵ω=2，∴T=π，即f（x）的最小正周期为π；
（II）由2kπ-

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

π

2

，k∈Z，
可得kπ-

π

12

≤x≤kπ+

5π

12

，k∈Z，此时函数单调递增，
由2kπ+

π

2

≤2x-

π

3

≤2kπ+

3π

2

，k∈Z，
可kπ+

5π

12

≤x≤kπ+

11π

12

，k∈Z，此时函数单调递减，
即函数f（x）的单调递减区间为[kπ-

π

12

，kπ+

5π

12

]，k∈Z，
单调递增区间为[kπ+

5π

12

，kπ+

11π

12

]，k∈Z，
∵x∈[0，

π

2

]，
∴当k=0时，函数的单调递减区间为[0，

5π

12

]，单调递增区间为[

5π

12

，

π

2

]，
则f（x）在[0，

5π

12

]上是减函数，在[

5π

12

，

π

2

]上是增函数．

点评：此题考查了两角和与差的正弦函数公式，三角函数的周期性及其求法，以及正弦函数的单调性，熟练掌握公式是解本题的关键．