Question

已知数列{a_n}的各项均为正数，前n项和为S_n，且Sn=

an(an+1)

2

(n∈N*)
（Ⅰ）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设bn=

1

2Sn

，Tn=b1+b2+…+bn，求T_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由Sn=

an(an+1)

2

，知2Sn=an2+an，2Sn-1=an-12+an-1(a≥2)，所以（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，由此能求出a_n=n．
（Ⅱ）由Sn=

an(an+1)

2

=

n(n+1)

2

，知bn=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，由此能求出T_n．

解答：解：（Ⅰ）∵Sn=

an(an+1)

2

，
∴2Sn=an2+an，①
2Sn-1=an-12+an-1(a≥2)，②
由①-②得：2an=an2-an-12+an-an-1，（2分）  
（a_n+a_n-1）（a_n-a_n-1-1）=0，
∵a_n＞0，∴an-an-1=1(n≥2)，
又∵a1=S1=

a1(a1+1)

2

，
∴a₁=1，∴an=a1+(n-1)d=n(n≥2)，（5分）
当n=1时，a₁=1，符合题意．
故a_n=n．（6分）
（Ⅱ）∵Sn=

an(an+1)

2

=

n(n+1)

2

，
∴bn=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，（10分）
故Tn=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=1-

1

n+1

=

n

n+1

．（12分）

点评：本题考查数列的通项公式和前n项和公式的求法，解题时要认真审题，注意迭代法和裂项求和法的合理运用．