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已知三条直线l1:mx-y+m=0,l2:x+my-m(m+1)=0,l3:(m+1)x-y+(m+1)=0,它们围成△ABC.
(Ⅰ)求证:不论m取何值时,△ABC中总有一个顶点为定点;
(Ⅱ)当m取何值时,△ABC的面积取最大值、最小值?并求出最值.
分析:(1)联立方程得出l1,l3交于A(-1,0),l2,l3交于B(0,m+1)从而可以证明结论.
(2)首先根据条件得出角C为直角,从而得出S=
1
2
|AC|•|BC|,再利用点到直线的距离公式得出BC=
1
m2+1
,AC=
m2+m+1
m2+ 1
,然后利用均值不等式求出,
1
m+
1
m
的最值,即可得出结果.
解答:解:(1)根据题意得 l1,l3交于A(-1,0)l2,l3交于B(0,m+1)
∴不论m取何值时,△ABC中总有一个顶点为定点(-1,0)
(2)从条件中可以看出l1、l2垂直
∴角C为直角,
∴S=
1
2
|AC|•|BC|
|BC|等于点(0,m+1)到l1的距离d=
|-m-1+m|
m2+1
=
1
m2+1

|AC|等于(-1,0)到l2的距离d=
m2+m+1
m2+ 1

S=
1
2
×
m2+m+1
m2+1
=
1
2
[1+
1
m+
1
m
]
当m>0时,
1
m+
1
m
有最大值
1
2

同理,当m<0时,
1
m+
1
m
有最小-
1
2

所以m=1时S取最大值为
3
4
m=-1时S取最小值
1
4
点评:本题考查了两条直线的交点坐标以及基本不等式的最值问题,此题有一定难度,属于中档题.
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A、-8
B、-
1
2
C、8
D、
1
2

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