Question

设f（x）是定义在[-1，1]上的偶函数，f（x）与g（x）的图象关于x=1对称，且当x∈[2，3]时，g（x）=6（x-2）-2（x-2）³．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求f（x）的单调区间及最小值．

Answer 1

分析：（1）根据f（x）与g（x）的图象关于x=1对称可推知f（x）=g（2-x），进而根据g（x）的解析式，求出f（x）[-1，0]上的解析式，再根据函数是偶函数求得f（x）在[-1，0]的解析式．
（2）分别看0＜x≤1和-1≤x≤0时，导函数f’（x）大于还是小于零，进而判断函数的单调性．进而可得函数的单调区间和最小值．

解答：解：（1）当-1≤x≤0时，2-x∈[2，3]，且y=f（x）上任意的点P（x，y）
关于直线x=1的对称点P'（2-x，y）都在y=g（x）图象上．
∴f（x）=g（2-x）=6（2-x-2）-2（2-x-2）³=2x³-6x
又f（x）是偶函数
∴0＜x≤1时，f（x）=6x-2x³，
∴f(x)=

2x3-6x(-1≤x≤0) 6x-2x3(0＜x≤1)

（2）当-1≤x≤0时，f‘（x）=6x²-6＜0
∴f（x）在[-1，0]单调减，
当0＜x≤1时，f‘（x）=6-6x²＞0
∴f（x）在（0，1]单调增，
∴单调递减区间为[-1，0]，单调递增区间为（0，1]；最小值为f（0）=0．

点评：本题主要考查了函数单调性和奇偶性的综合应用．可用导函数来判断函数的单调性，即在某区间导函数f‘（x）大于0时，函数调增；小于0时，函数单调减．