Question

【题目】将边长为的正三角形利用平行于边的直线剖分为个边长为1的小正三角形.图3为的情形.证明：存在正整数，使得小三角形的顶点中可选出2000个点，其中，任意三点均不构成正三角形.

Answer 1

【答案】见解析

【解析】

首先证明一个引理.

引理 若边长为的正三角形内部（不含边界）可选出个点（而不构成三角形），则边长为3的正三角形可选出4个点.

证明 事实上，边长3的正三角形可分为9个边长的正三角形，如图1，其中，4个（编号1、2、3、4）分别可选出个点（不构成正三角形）.

图1

下面证明：这4个点一起也不构成正三角形.任取其中三点.

【情形1】

三点在同一编号的三角形内.

据该三角形内个点的选取方式，故点不构成三角形.

【情形2】

两点（不妨设）在同一编号三角形，另一点在其余编号三角形内.

考虑含两点的三角形，如图2.据平面几何知识，知与形成正三角形的第三个顶点应在一个“大三角形”内，该大三角形以为中位三角形.图1中每个编号的三角形的大三角形与其余编号的三角形并无交集.故点不构成正三角形.

图2

【情形3】

每个点在不同编号的三角形内.

据对称性，只需考虑编号为1、2、4或2、3、4两种．

前一种，不妨设点分别在编号1、2、4三角形内．则两点均在，但以为中位三角形的大三角形与编号4的三角形并无交集.

后一种，不妨设点分别在编号2、3、4三角形内．则两点均在内，但以为中位三角形的大三角形与编号3的三角形并无交集.

于是，两种类型均有点不构成正三角形.

综合以上三种情形，引理得证.

如图，边长为3的正三角形内部（不含边界）可选出一个点（而不形成正三角形）．用上述结论，可归纳证明：边长为的三角形内（不含边界）可选出个点（而不构成正三角形）.

只要证明：存在，使得.

由，知存在，使得.

从而，.

令即得.