Question

14．对于函数$f（x）=\frac{1}{1-x}$，定义${f_1}（x）=f（x），{f_{n+1}}（x）=f[{{f_n}（x）}]\;\;（n∈{N^*}）$．已知偶函数g（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），g（1）=0；当x＞0，且x≠1时，g（x）=f₂₀₁₅（x）．
（1）求f₂（x），f₃（x），f₄（x），并求出函数y=g（x）的解析式；
（2）若存在实数a，b（a＜b）使得函数g（x）在[a，b]上的值域为[mb，ma]，求实数m的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据函数关系进行求解即可．
（2）根据函数奇偶性的性质，结合函数的值域关系进行求解即可．

解答 解：（1）因为${f_1}（x）=f（x）=\frac{1}{1-x}\;（{x≠1}），\;\;故$${f_2}（x）=f[{{f_1}（x）}]=\frac{1}{{1-\frac{1}{1-x}}}=1-\frac{1}{x}\;（{x≠0，x≠1}）$，$\begin{array}{l}{f_3}（x）=f[{{f_2}（x）}]=\frac{1}{{1-（1-\frac{1}{x}）}}=x\;（x≠0，x≠1），\;\;\\{f_4}（x）=f[{{f_3}（x）}]=\frac{1}{1-x}\;\;（x≠0，x≠1），…（3分）\end{array}$
故对任意的n∈N^•，有f_3n+i（x）=f_i（x）（i=2，3，4），
于是${f_{2015}}（x）={f_{3×671+2}}（x）={f_2}（x）=1-\frac{1}{x}\;（x≠0，x≠1）$；$故当\;x＞0，x≠1\;时，g（x）={f_{2015}}（x）=1-\frac{1}{x}$．$又g（1）=0，故当\;x＞0\;时，g（x）=1-\frac{1}{x}$．
由g（x）为偶函数，$当\;x＜0\;时，-x＞0，g（x）=g（-x）=1-\frac{1}{-x}=1+\frac{1}{x}$．${因此}g（x）=\left\{\begin{array}{l}1+\;\frac{1}{x}，\;x＜0\\ 1-\frac{1}{x}，\;x＞0.\end{array}\right.=1-\;\frac{1}{|x|}$．…（6分）
（2）由于y=g（x）的定义域为（-∞，0）∪（0，+∞），
又a＜b，mb＜ma，可知a与b同号，且m＜0；进而g（x）在[a，b]递减，且a＜b＜0．…（8分）
函数y=g（x）的图象，如图所示．由题意，有$\left\{\begin{array}{l}g（a）=1+\;\frac{1}{a}=ma\\ g（b）=1+\;\frac{1}{b}=mb\end{array}\right.$…（10分）

故a，b是方程$1+\;\frac{1}{x}=m\;x$的两个不相等的负实数根，即方程mx²-x-1=0在（-∞，0）上有
两个不相等的实根，于是$\begin{array}{l}\left\{\begin{array}{l}△=1+4m＞0\\ a+b=\;\frac{1}{m}＜0\\ ab=-\;\frac{1}{m}＞0\end{array}\right.\\?-\frac{1}{4}＜m＜0.\end{array}$…（12分）
综合上述，得：实数m的取值范围为$（{-\frac{1}{4}，0}）$．…（14分）
注：若采用数形结合，得出直线y=mx与曲线$y=1+\;\frac{1}{x}\;（x＜0）$有两个不同交点，并进行求解也可．

点评 本题主要考查函数解析式的求解以及函数奇偶性的应用，考查学生的运算和推理能力．