Question

函数f(θ)=3+

1+cosθ

sinθ

+

2+2sinθ

cosθ

(0＜θ＜

π

2

)的最小值为（　　）

• A．8
• B．10
• C．12
• D．4

  5

Answer 1

分析：利用半角的三角函数化简，f（θ）的解析式为3+cot

θ

2

+2

1+tan θ 2

1-tan θ 2

，由θ的范围得0＜tan

θ

2

＜1，且f（θ）＞6．令 y=f（θ），则一元二次方程（y-1）x²+（4-y）x+1=0 在（0，1）内有解，哟判别式大于或等于0得y≥10，利用根与系数的关系检验可得两个根均在（0，1）内，故y的最小值为10．

解答：解：∵f(θ)=3+

1+cosθ

sinθ

+

2+2sinθ

cosθ

=3+

1+2cos2 θ 2 -1

2sin θ 2 cos θ 2

+2

(cos θ 2 +sin θ 2 )2

cos2 θ 2 -sin2 θ 2

=3+cot

θ

2

+2 

1+tan θ 2

1-tan θ 2

．
由于0＜θ＜

π

2

，∴0＜tan

θ

2

＜1，∴f（θ）＞3+1+2＞6．
令 y=f（θ），由以上可得 y=3+cot

θ

2

+2 

1+tan θ 2

1-tan θ 2

，
∴（y-1）tan2

θ

2

+（4-y）tan

θ

2

+1=0，则一元二次方程（y-1）x²+（4-y）x+1=0 在（0，1）内有解．
∴△=（4-y）²-4（y-1）≥0，（y-2）（y-10）≥0，y≥10．
故两根之和等于

y-4

y-1

=1-

3

y-1

∈[

2

3

，1），两根之积等于

1

y-1

∈（0，

1

9

]，
所以是两个正数根，两个根均在（0，1）内，故有y≥10，即y的最小值为10．

点评：本题主要考查半角的三角函数，一元二次方程根与系数的关系，不等式性质的应用，判断一元二次方程（y-1）x²+（4-y）x+1=0 在（0，1）内有解，是解题的关键，属于中档题．