Question

已知m＞0，n＞0，向量

a

=(1，1)，向量

b

=(m，n-3)，且

a

⊥(

a

+

b

)，则

1

m

+

4

n

的最小值为（　　）

A．18

B．16

C．9

D．8

Answer 1

分析：利用向量加法的坐标运算求出

a

+

b

，再由向量垂直得到m和n的关系为m+n=1，求

1

m

+

4

n

的最小值时，把

1

m

+

4

n

乘以1，即（m+n），展开后利用基本不等式可求最值．

解答：解：因为向量

a

=(1，1)，向量

b

=(m，n-3)，
所以

a

+

b

=(1，1)+(m，n-3)=(m+1，n-2)，
由

a

⊥(

a

+

b

)，所以1×（m+1）+1×（n-2）=0，
即m+n=1．
又m＞0，n＞0，
所以，

1

m

+

4

n

=(

1

m

+

4

n

)(m+n)=1+4+

n

m

+

4m

n

=5+

n

m

+

4m

n

≥5+2

n m • 4m n

=9．
当且仅当“4m²=n²”时“=”成立．
所以，

1

m

+

4

n

的最小值为9．
故选C．

点评：本题考查了平面向量的坐标运算，考查了两个向量的数量积，训练了利用基本不等式求最值，解答此题的关键是“1”的代换，此题是中档题．