Question

已知函数f（x）=|x|x-2ax+b（x∈R）．给出下列命题：
①f（x）可能是奇函数；
②f（x）可能是偶函数；
③当f（0）=f（2）时f（x）的图象必关于x=1对称；
④f（x）在（a，+∞）上是增函数
其中正确命题的序号是

 

．

Answer 1

分析：①b=0时，函数是奇函数，可知①正确；
②当b≠0时，f（x）不具有奇偶性，故②不正确；
③令a=0，b=-2，则f（x）=|x|x-2，此时f（0）=f（2）=2，但f（x）=|x|x-2x是奇函数，其图象不关于x=1对称；故③错；
④根据图象的平移变换可知函数f（x）=|x|x-2ax+b（x∈R）的对称中心为（0．b），因此可知④正确．

解答：解：①b=0时，函数是奇函数，可知①正确；
②当b≠0时，f（x）不具有奇偶性；故②错；
③令a=1，b=0，则f（x）=|x|x-2x
此时f（0）=f（2）=2，
但f（x）=|x|x-2x是奇函数，其图象不关于x=1对称；故③错；
④f（x）=|x|x-2ax+b=

x2- 2ax+b，x≥0 -x2-2ax+b，x＜0

，它的对称中心为（0．b），

因此f（x）在（a，+∞）上单调递增，故④正确．
故答案为：①④．

点评：本题考查函数的性质和应用，解题时要认真审题，仔细解答，属中档题．．