Question

（07年天津卷理）(14分)

设椭圆的左、右焦点分别为是椭圆上的一点原点到直线的距离为.

    (I)证明：；

    (II)设为椭圆上的两个动点过原点作直线的垂线垂足为求点的轨迹方程.

Answer 1

解析：(I)证法一：由题设及不妨设点其中由于点在椭圆上，有即    解得从而得到

直线的方程为整理得

    由题设，原点到直线的距离为即

    将代入上式并化简得即 

证法二：同证法一，得到点的坐标为

    过点作垂足为易知～故

   

由椭圆定义得又所以

    解得而而得即

（II）解法一：设点的坐标为当时，由知，直线的斜率为

所以直线的方程为或其中

    点的坐标满足方程组

    将①式代入②式，得

    整理得于是

     　　　　③

    由①式得  

                   　　　　④

    由知将③式和④式代入得

     将代入上式，整理得

    当时，直线的方程为点的坐标满足方程组

     所以

    由知即解得

    这时，点的坐标仍满足

    综上，点的轨迹方程为

解法二：设点的坐标为直线的方程为由垂足为可知直线的方程为记（显然点的坐标满足方程组

                由①式得　　　　　　　③

    由②式得　　　④     将③式代入④式得

    整理得于是　　　　⑤

    由①式得   　　　　　　⑥

    由②式得   　　　　⑦

    将⑥式代入⑦式得

    整理得于是　　　　　⑧

    由知将⑤式和⑧式代入得

      将代入上式，得

    所以，点的轨迹方程为

【考点】本小题主要考查椭圆的标准方程和几何性质、直线方程、求曲线的方程等基础知识，考查曲线和方程的关系等解析几何的基本思想方法及推理、运算能力.