Question

已知关于x的方程sinx+cosx=a与tanx+cotx=a的解集都是空集，则实数a的取值范围是________．

Answer 1

分析：利用两角和的正弦函数化简方程sinx+cosx=a为：sin（ x+）=a，由解集是空集求出实数a的取值范围．再由
tanx+cotx=a的解集是空集求出实数a的取值范围，将实数a的这两个取值范围取交集，即得所求．
解答：方程sinx+cosx=a 化简为：sin（ x+）=a，即 sin（ x+）=，
若没有解集，那么 ＞1或 ＜-1，
解得 a＞或a＜-，即实数a的取值范围是 （，+∞）∪（-∞，-）．
∵tanx+cotx≥2，或tanx+cotx≤-2，若tanx+cotx=a的解集是空集，
则有-2＜a＜2，即实数a的取值范围是 （-2，2 ）．
对这两个实数a的取值范围取交集可得，
故答案为 ．
点评：本题考查求三角函数的最值，基本不等式的应用，空集的概念，考查计算能力，是基础题．