Question

已知直角△OAB的直角顶点O为原点，点A、B在抛物线y²=2px（p＞0）上，原点在直线AB上的射影为点D（2，1），求抛物线的方程．

Answer 1

解：∵原点在直线AB上的射影为点D（2，1），
∴直线AB的斜率为k_AB=-2，
∴线AB的方程l_AB：y-1=-2（x-2），
整理得：2x+y-5=0…（4分）
将2x=5-y代入y²=2px（p＞0）
得y²+py-5p=0，…（6分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x₁，x₂是方程y²+py-5p=0的两根．
∵OA⊥OB，
∴x₁x₂+y₁y₂=0，…（8分）
∴y₁y₂-（y₁+y₂）+5=0，
∴-5p+p+5=0，
∴p=，
∴y²=x…（12分）
分析：依题意，可求得直线AB的方程，与抛物线y²=2px联立，利用韦达定理可求得p．
点评：本题考查抛物线的标准方程，考查直线与圆锥曲线的位置关系与韦达定理的应用，属于中档题．