Question

若对任意x∈A，y∈B，（A、B⊆R）有唯一确定的f（x，y）与之对应，称f（x，y）为关于x、y的二元函数．现定义满足下列性质的二元函数f（x，y）为关于实数x、y的广义“距离”：
（1）非负性：f（x，y）≥0，当且仅当x=y=0时取等号；
（2）对称性：f（x，y）=f（y，x）；
（3）三角形不等式：f（x，y）≤f（x，z）+f（z，y）对任意的实数z均成立．
今给出四个二元函数：
①f（x，y）=x²+y²；②f（x，y）=（x-y）²③f(x，y)=

x-y

；④f（x，y）=sin（x-y）．
能够成为关于的x、y的广义“距离”的函数的所有序号是

①

．

Answer 1

分析：利用新定义的三个条件，若有一个不满足，即不是“关于的x、y的广义“距离”的函数”．

解答：解：①对于函数f（x，y）=x²+y²：满足非负性：f（x，y）≥0，当且仅当x=y=0时取等号；满足对称性：f（x，y）=f（y，x）；
∵f（x，z）+f（z，y）=x²+z²+z²+y²≥x²+y²=f（x，y）对任意的实数z均成立，因此满足三角形不等式：f（x，y）≤f（x，z）+f（z，y）．可知f（x，y）能够成为关于的x、y的广义“距离”的函数．
②f（x，y）=（x-y）²≥0，但是不仅x=y=0时取等号，x=y≠0也成立，因此不满足新定义：关于的x、y的广义“距离”的函数；
③f（x，y）=

x-y

，若f（x，y）=

x-y

成立，则f（y-x）=

y-x

不一定成立，即不满足对称性；
④同样f（x，y）=sin（x-y）不满足对称性．
综上可知：只有①满足新定义，能够成为关于的x、y的广义“距离”的函数．
故答案为①．

点评：本题考查了新定义、函数的性质等基础知识与基本技能方法，属于中档题．