Question

已知双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1的焦距为3

2

，其中一条渐近线的方程为x-

2

y=0．以双曲线C的实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆记为E，过原点O的动直线与椭圆E交于A、B两点．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）若点P为椭圆的左顶点，

PG

=2

GO

，求|

GA

|2+|

GB

|2的取值范围；
（Ⅲ）若点P满足|PA|=|PB|，求证

1

|OA|2

+

1

|OB|2

+

2

|OP|2

为定值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出a2+b2=

9

2

，

b

a

=

2

2

，由此能求出椭圆E的方程．
（Ⅱ）由已知条件知P（-

3

，0），设G（x₀，y₀），由

PG

=2

GO

，推导出G（-

3

3

，0），由此能求出|

GA

|2+|

GB

|2的取值范围．
（Ⅲ）由|PA|=|PB|，知P在线段AB垂直平分线上，由椭圆的对称性知A，B关于原点对称，由此能够证明

1

|OA|2

+

1

|OB|2

+

2

|OP|2

为定值．

解答： （Ⅰ）解：∵双曲线C：

x2

a2

-

y2

b2

=1的焦距为3

2

，∴c=

3 2

2

，
∴a2+b2=

9

2

，①
∵一条渐近线的方程为x-

2

y=0，
∴

b

a

=

2

2

，②
由①②解得a²=3，b²=

3

2

，
∴椭圆E的方程为

x2

3

+

2

3

y2=1．
（Ⅱ）解：∵点P为椭圆的左顶点，∴P（-

3

，0），
设G（x₀，y₀），由

PG

=2

GO

，得（x₀+

3

，y₀）=2（-x₀，-y₀），
∴

x0+ 3 =-2x0 y0 =-2y0

，解得

x0=- 3 3 y0=0

，∴G（-

3

3

，0），
设A（x₁，y₁），则B（-x₁，-y₁），
|

GA

|²+|

GB

|²=（x1+

3

3

）²+y12+（x₁-

3

3

）²+y12
=2x12+2y12+

2

3

=2x12+3-x 12+

2

3

=x12+

11

3

，
又∵x₁∈[-

3

，

3

]，∴x12∈[0，3]，
∴

11

3

≤x12+

11

3

≤

20

3

，
∴|

GA

|2+|

GB

|2的取值范围是[

11

3

，

20

3

]．
（Ⅲ）证明：由|PA|=|PB|，知P在线段AB垂直平分线上，
由椭圆的对称性知A，B关于原点对称，
①若A、B在椭圆的短轴顶点上，则点P在椭圆的长轴顶点上，
此时

1

|OA|2

+

1

|OB|2

+

2

|OP|2

=

1

b2

+

1

b2

+

2

a2

=2（

1

a2

+

1

b2

）
=2．
②当点A，B，P不是椭圆的顶点时，设直线l的方程为y=kx（k≠0），
则直线OP的方程为y=-

1

k

x，设A（x₁，y₁），
由

y=kx x2 3 + 2y2 3 =1

，解得x12=

3

1+2k2

，y12=

3k2

1+2k2

，
∴|OA|²+|OB|²=x12+y12=

3(1+k2)

1+2k2

，
用-

1

k

代换k，得|OP|²=

3(1+k2)

2+k2

，
∴

1

|OA|2

+

1

|OB|2

+

2

|OP|2

=

1+2k2

3(1+k2)

+

1+2k2

3(1+k2)

+

2(2+k2)

3(1+k2)

=2，
综上所述：

1

|OA|2

+

1

|OB|2

+

2

|OP|2

=2．

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查线段之和取值范围的求法，考查线段之和为定值的证明，解题要注意直线与圆锥曲线的位置关系的综合应用．