Question

如图，点A，B分别是椭圆E：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的左、右顶点，圆B：（x一2）²十y²=9经过椭圆E的左焦点F₁．
（Ⅰ）求椭圆E的方程；
（Ⅱ）过A作直线l与y轴交于点Q，与椭圆E交于点P（异于A）．
（i）求

F1Q

•

BP

的取值范围；
（ii）是否存在定圆r，使得以P为圆心，PF₁为半径的圆始终内切于圆r，若存在，求出圆r的方程；若不存在，说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出a=2，b²=4-1=3，由此能求出椭圆E．
（Ⅱ）（i）当直线为x轴时，

F1Q

•

BP

=0．设直线AP：x=ty-2，与E：

x2

4

+

y2

3

=1联立，得（3t²+4）y²-12ty=0，由此能求出

F1Q

•

BP

的取值范围．
（ii）假设存在定圆r满足题意，根据椭圆的对称性，猜想定圆r的圆心在x轴上，由此能求出定圆r的方程．

解答： 解：（Ⅰ）依题意知a=2，圆B：（x-2）²+y²=9中，
令y=0，得F₁（-1，0），
∴b²=4-1=3，
∴椭圆E：

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）（i）当直线为x轴时，

F1Q

•

BP

=0．
设直线AP：x=ty-2，与E：

x2

4

+

y2

3

=1联立，得（3t²+4）y²-12ty=0，
∴y_p=

12t

3t2+4

，x_p=

6t2-8

3t2+4

，
AP：x=ty-2中，令x=0，得yp=

2

t

，
∴

F1Q

•

BP

=（1，

2

t

）•（

6t2-8

3t2+4

-2，

12t

3t2+4

）=

8

3t2+4

∈(0，2)，
综上所述，

F1Q

•

BP

的取值范围是[0，2）．
（ii）假设存在定圆r满足题意，
根据椭圆的对称性，猜想定圆r的圆心在x轴上，
当P恰好为B时，圆P就是定圆B：（x-2）²+y²=9，交x轴于D（5，0），
当P无限接近于A时，圆P就是圆A：（x+2）²+y²=1，交x轴于C（-3，0）．
∴定圆r的圆心为CD中点F₂（1，0），恰好为E：

x2

4

+

y2

3

=1的右焦点，
∴猜想定圆r：（x-1）²+y²=16．
下证：圆P始终内切于定圆r，
∵|PF₂|+|PF₁|=4，∴|PF₂|=4-|PF₁|得证．

点评：本题考查椭圆的几何性质、直线与椭圆的位置关系、圆与圆的位置等基础知识，考查运算求解能力、推理论证能力、探索求解能力；考查数形结合思想、函数与方程、分类与整合等数学思想．