Question

设定圆M：(x+

3

)2+y2=16，动圆N过点F(

3

，0)且与圆M相切，记动圆N圆心N的轨迹为C．
（1）求轨迹C的方程；
（2）已知A（-2，0），过定点B（1，0）的动直线l交轨迹C于P、Q两点，△APQ的外心为N．若直线l的斜率为k₁，直线ON的斜率为k₂，求证：k₁•k₂为定值．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题,轨迹方程

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知条件得圆N内切于圆M，|NM|+|NF|=4＞|FM|，由此能求出点N的轨迹C的方程．
（2）设直线PQ为x=my+1设点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），由

x=my+1 x2+4y2=4

，得（m²+4）y²+2my-3=0，由此利用韦达定理综合已知条件能k₁•k₂为定值．

解答： （1）解：∵点F(

3

，0)在圆M：(x+

3

)2+y2=16内，
∴圆N内切于圆M，
∴|NM|+|NF|=4＞|FM|
∴点N的轨迹C的方程为

x2

4

+y2=1．…（5分）
（2）证明：∵△APQ存在，
∴直线PQ斜率不为0
设直线PQ为x=my+1设点P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），
由

x=my+1 x2+4y2=4

，得（m²+4）y²+2my-3=0，

y1+y2= -2m m2+4 y1•y2= -3 m2+4

，
直线AP的中垂线方程为：y=-

x1+2

y1

(x-

x1-2

2

)+

y1

2

，
即y=-

x1+2

y1

x+

x 2 1 -4

2y1

+

y1

2

，
∵

x

2 1

+4

y

2 1

=4，∴y=-

x1+2

y1

x-

3y1

2

，
∴y=-

my1+3

y1

x-

3

2

y1，∴y=-mx-

2

y1

x-

3y1

2

，
同理得到直线AQ的中垂线方程为：y=-mx-

2

y2

x-

3y2

2

，…（7分）
∴点N的坐标满足

y+mx=- 2 y1 x- 3y1 2 y+mx=- 2 y2 x- 3y2 2

，
∴

2 y1 x+ 3y1 2 = 2 y2 x+ 3y2 2 2y+2mx=-( 2 y1 x+ 2 y2 x)-( 3y1 2 + 3y2 2 )

，
∴

x= 1 2 y1y2 2y+2mx=-( 1 y1 + 1 y2 )3x- 3 2 (y1+y2)

，
∴

x= -3 2(m2+4) 2y+2mx=-2mx+ 3m m2+4

…（9分）
∴2y+2mx=-2mx-2mx，
解得k2=

y

x

=-3m
又∵直线l的斜率为k₁，
∴k1=

1

m

（m≠0），∴k₁k₂=-3．…（13分）

点评：本题考查轨迹方程的求法，考查斜率乘积为定值的证明，考查分析运算能力，考查推理论证能力，考查函数方程思想，考查分类整合思想，对数学思维能力的要求较高．