Question

已知函数f（x）=|2x-m|（m为常数），对任意的x∈R，f（x+3）=f（-x）恒成立．
有下列四种说法：
①m=3；     ②f（x）是偶函数；
③若函数g（x）=f（x）+|2x-b|（b为常数）的图象关于直线x=1对称，则b=1；
④已知定义在R上的函数h（x）对任意x均有h（x）=h（-x）成立，且当x∈[0，3]时，h（x）=f（x）；又函数φ（x）=-x²+c（c为常数），若存在x₁，x₂∈[-1，3]使得|h（x₁）-φ（x₂）|＜1成立，则c的取值范围是（-1，13），其中说法正确的

 

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Answer 1

考点：抽象函数及其应用,命题的真假判断与应用

专题：函数的性质及应用

分析：①对任意的x∈R，f（x+3）=f（-x）恒成立?|2x+6-m|=|2x+m|?6-m=m，解得即可．
②由①可知：f（x）=|2x-3|，判定其图象是否关于y轴对称即可；
③由函数g（x）=f（x）+|2x-b|（b为常数）的图象关于直线x=1对称，可得g（2-x）=g（x）解出即可；
④当x∈[0，3]时，h（x）=f（x）=|2x-3|，可得h（x）取值范围；再利用h（x）是偶函数．可得当x∈[-1，0）时，h（x）=h（-x）=|2x+3|，可得h（x）的取值范围．可得x∈[-1，3]时，h（x）的值域．
由函数φ（x）=-x²+c，x∈[-1，3]，利用二次函数的单调性可得φ（x）_max，φ（x）_min．存在x₁，x₂∈[-1，3]使得|h（x₁）-φ（x₂）|＜1成立，只要|h（x）_min-φ（x）_max|＜1，且|h（x）_max-φ（x）_min|＜1．解出即可．

解答： 解：①对任意的x∈R，f（x+3）=f（-x）恒成立?|2x+6-m|=|2x+m|?6-m=m，解得m=3，因此①正确．
②由①可知：f（x）=|2x-3|，其图象关于直线x=

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对称，而关于y轴不对称，因此不是偶函数；
③∵函数g（x）=f（x）+|2x-b|（b为常数）的图象关于直线x=1对称，
∴g（2-x）=g（x），∴|2（2-x）-3|+|2（2-x）-b|=|2x-3|+|2x-b|，对于任意实数恒成立．
化为|2x-1|+|2x-（4-b）|=|2x-3|+|2x-b|，对于任意实数恒成立，∴4-b=3，b=1，因此正确；
④当x∈[0，3]时，h（x）=f（x）=|2x-3|，可得h（x）∈[0，3]；
∵定义在R上的函数h（x）对任意x均有h（x）=h（-x）成立，∴h（x）是偶函数．
∴当x∈[-1，0）时，h（x）=h（-x）=|-2x-3|=|2x+3|，可得h（x）∈[1，3）．
综上可得：x∈[-1，3]时，h（x）∈[0，3]．
由函数φ（x）=-x²+c，x∈[-1，3]，可得φ（x）_max=c，φ（x）_min=c-9．
∵存在x₁，x₂∈[-1，3]使得|h（x₁）-φ（x₂）|＜1成立，
∴只要|h（x）_min-φ（x）_max|=0-c＜1，且|h（x）_max-φ（x）_min|=c-9-3＜1．
解得-1＜c且c＜13，因此c∈（-1，13）．因此正确．
综上可知：只有①③④正确．
故答案为：①③④．

点评：本题考查了函数的奇偶性、对称性、恒成立问题的等价转化等基础知识与基本技能方法，考查了分类讨论和数形结合思想方法，属于难题．