Question

已知数列{a_n}满足a1=1，a2=

1

2

，且[3+(-1)n]an+2=2an-2[(-1)n-1]（n=1，2，3，…）
（1）求a₃，a₄，a₅，a₆的值及数列{a_n}的通项公式；
（2）令b_n=a_2n-1•a_2n，记数列{b_n}的前n项和为T_n，求证T_n＜3．

Answer 1

分析：第一问的求值较容易，只需要依次代入递推公式逐步求出a₃，a₄，a₅，a₆的值，关键是求通项，要注意对n分奇偶数讨论，这样避免一般性解答时遇到麻烦．第二问是典型的等差比数列，方法是错位相减法．

解答：解：（1）分别令n=1，2，3，4
可求得：a3=3，a4=

1

4

，a5=5，a6=

1

8

当n为奇数时，不妨设n=2m-1，m∈N^*，则a_2m+1-a_2m-1=2．
∴{a_2m-1}为等差数列，∴a_2m-1=1+（m-1）•2=2m-1即a_m=n．
当n为偶数时，设n=2m，m∈N^*，则2a_2m+2-a_2m=0．
∴{a_2m}为等比数列，a2m=

1

2

•(

1

2

)m-1=

1

2m

，故an=(

1

2

)

n

2

．
综上所述，an=

n，(n为奇) ( 1 2 ) n 2 ，(n为偶数)

（2）bn=a2n-1•a2n=(2n-1)•

1

2n

∴Tn=1×

1

2

+3×

1

22

+5×

1

23

++(2n-1)•

1

2n

∴

1

2

Tn=1×

1

22

+3×

1

22

++(2n-3)•

1

2n

+(2n-1)•

1

2n

，
两式相减：

1

2

Tn=

1

2

+2[

1

22

+

1

23

++

1

2n

]-(2n-1)•

1

2n+1

=

1

2

+2•

1 4 (1- 1 2n-1 )

1- 1 2

-(2n-1)•

1

2n+1

∴Tn=3-

2n+3

2n

，故T_n＜3．

点评：（1）中对n按照奇偶讨论时要对数列的项数把握清楚，否则会因为项数不清导致错误．本题用到的思想方法有分类讨论思想，数列求和的错位相减法，证明不等式的放缩法．