Question

（本小题满分14分）

    若圆C过点M（0，1）且与直线相切，设圆心C的轨迹为曲线E，A、B为曲线E上的两点，点

   （I）求曲线E的方程；

   （II）若t=6，直线AB的斜率为，过A、B两点的圆N与抛物线在点A处共同的切线，求圆N的方程；

   （III）分别过A、B作曲线E的切线，两条切线交于点Q，若点Q恰好在直线上，

求证：t与均为定值。

Answer 1

【解】（Ⅰ）依题意,点到定点的距离等于到定直线的距离，所以点的轨迹为抛物线，曲线的方程为.……………………………………………………3分

（Ⅱ）直线的方程是,即.

由及知，得和……5分

由得,.

 所以抛物线在点处切线的斜率为.

     直线的方程为,即.①

     线段的中点坐标为,中垂线方程为,即.②

     由①、②解得.…………………………………………………………7分

     于是,圆的方程为,

即  . ………………………………………………………8分

（Ⅲ）设,,.过点的切线方程为,

即.同理可得,所以,.…10分

又=,所以直线的方程为,即,亦即,所以.………………………………………11分

而,,

所以

.…………………………………13分