Question

已知数列{a_n}的前n项和S_n=n²+n，则数列b_n=

1

anan+1

+2

an

2

的前5项的和为

 

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：由已知条件推导出a_n=2n，从而b_n=

1

anan+1

+2

an

2

=

1

4

(

1

n

-

1

n+1

)+2n，由此能求出数列b_n=

1

anan+1

+2

an

2

的前5项的和．

解答： 解：∵数列{a_n}的前n项和S_n=n²+n，
∴a₁=S₁=1+1=2，
a_n=S_n-S_n-1=（n²+n）-[（n-1）²+（n-1）]=2n，
当n=1时，上式成立，∴a_n=2n，
∴b_n=

1

anan+1

+2

an

2

=

1

2n•2(n+1)

+2ⁿ
=

1

4

(

1

n

-

1

n+1

)+2n，
∴数列b_n=

1

anan+1

+2

an

2

的前5项的和：
S₅=

1

4

（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+

1

3

-

1

4

+

1

4

-

1

5

+

1

5

-

1

6

）+

2(1-25)

1-2

=

1

4

(1-

1

6

)+2(32-1)
=

5

24

+62
=

1493

24

．
故答案为：

1493

24

．

点评：本题考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意分组求和法的合理运用．