Question

8．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD=90°，AD∥BC，AB=BC=1，AD=2，PA⊥底面ABCD，PD与底面成30°角．
（1）求证：BC∥平面PAD；
（2）若AE⊥PC，E为垂足，求证：PD⊥平面ABE．

Answer 1

分析 （1）由AD∥BC，能证明BC∥平面PAD．
（2）由线面垂直得PA⊥CD，由勾股定理得AC⊥CD，从而CD⊥平面PAC，进而得到AE⊥平面PCD，由此能证明PD⊥平面ABE．

解答 （1）证明：∵AD∥BC，
AD?平面PAD，BC?平面PAD，
∴BC∥平面PAD．
（2）证明：∵PA⊥底面ABCD，CD?平面ABCD，
∴PA⊥CD，
∵底面ABCD是一直角梯形，∠BAD=90°，AD∥BC，AB=BC=1，AD=2，PD与底面成30°角，
∴PA=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$，AC=CD=$\sqrt{2}$，∴AC²+CD²=AD²，∴AC⊥CD，
又PA∩AC=A，∴CD⊥平面PAC，
∵AE?平面PAC，∴CD⊥AE，
又AE⊥PC，PC∩CD=C，∴AE⊥平面PCD，
∴AE⊥PD，又AB⊥PD，∴PD⊥平面ABE．

点评 本题考查线面平行、线面垂直的证明，是中档题，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．