Question

13．已知p：1＜2^x＜8；q：不等式x²-mx+4≥0恒成立，若￢p是￢q的必要条件，求实数m的取值范围m≤4．

Answer 1

分析 由已知可求p：0＜x＜3，由￢p是￢q的必要条件可知p是q的充分条件，从而可得x²-mx+4≥0对于任意的x∈（0，3）恒成立，进而转化为m≤$\frac{4+{x}^{2}}{x}$=x+$\frac{4}{x}$对于任意的x∈（0，3）恒成立，利用基本不等式可求．

解答 解：∵1＜2^x＜8
∴p：0＜x＜3
∵￢p是￢q的必要条件
∴p是q的充分条件即p⇒q
∵x²-mx+4≥0对于任意的x∈（0，3）恒成立，
∴m≤$\frac{4+{x}^{2}}{x}$=x+$\frac{4}{x}$对于任意的x∈（0，3）恒成立，
∵x+$\frac{4}{x}$≥2$\sqrt{x•\frac{4}{x}}$=4，当且仅当x=$\frac{4}{x}$即x=2时等号成立，
∴m≤4
故：m≤4．

点评 本题主要考查了充分条件的应用及基本不等式求解最值中的应用、及函数的恒成立与最值求解的相互转化关系的应用，注意本题解题技巧的应用．