Question

如图，ABCD是一块边长为100 m的正方形地皮，其中AST是一半径为90 m的扇形小山，其余部分都是平地.一开发商想在平地上建一个矩形停车场，使矩形的一个顶点P在上，相邻两边CQ、CR落在正方形的边BC、CD上.求矩形停车场PQCR面积的最大值和最小值.

Answer 1

解：设∠PAB=θ(0°≤θ≤90°)，延长RP交AB于点M，则AM=90cosθ，MP=90sinθ，所以PQ=MB=100-90cosθ,

PR=MR-MP=100-90sinθ.

    所以S_矩形PQCR=PQ·PR

=(100-90cosθ)(100-90sinθ)

=10 000-9 000(sinθ+cosθ)+8 100sinθcosθ.

    令t=sinθ+cosθ(1≤t≤)，

    则sinθcosθ=.

    所以S_矩形PQCR=10 000-9 000t+8 100·=(t-)²+950.

    故当t=时，S_矩形PQCR取得最小值950 m²；当t=时，S_矩形PQCR取得最大值(14 050-9 000)m².