精英家教网 > 高中数学 > 题目详情
如图,在三棱锥底面
分别在棱上,且 
(Ⅰ)求证:平面
(Ⅱ)当的中点时,求与平面所成的角的大小;
(Ⅲ)是否存在点使得二面角为直二面角?并说明理由.
(Ⅰ)略
(Ⅱ)与平面所成的角的大小
(Ⅲ)存在点E使得二面角是直二面角.
【解法1】本题主要考查直线和平面垂直、直线与平面所成的角、二面角等基础知识,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.
(Ⅰ)∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥BC.
,∴AC⊥BC.
∴BC⊥平面PAC.       ……………4分
(Ⅱ)∵D为PB的中点,DE//BC,

又由(Ⅰ)知,BC⊥平面PAC,
∴DE⊥平面PAC,垂足为点E.
∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角,……………6分
∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥AB,又PA=AB,
∴△ABP为等腰直角三角形,∴
∴在Rt△ABC中,,∴.
∴在Rt△ADE中,
与平面所成的角的大小        ……………8分.
(Ⅲ)∵DE//BC,又由(Ⅰ)知,BC⊥平面PAC,∴DE⊥平面PAC,
又∵AE平面PAC,PE平面PAC,∴DE⊥AE,DE⊥PE,
∴∠AEP为二面角的平面角,        ……………10分
∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥AC,∴.
∴在棱PC上存在一点E,使得AE⊥PC,这时
故存在点E使得二面角是直二面角.    ……………12分
【解法2】如图,以A为原煤点建立空间直角坐标系
,由已知可得
.……………2分
(Ⅰ)∵
,∴BC⊥AP.
又∵,∴BC⊥AC,∴BC⊥平面PAC.     ……………4分
(Ⅱ)∵D为PB的中点,DE//BC,∴E为PC的中点,

∴又由(Ⅰ)知,BC⊥平面PAC,∴∴DE⊥平面PAC,垂足为点E.
∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角,               ……………6分
,∴.
与平面所成的角的大小……………8分
(Ⅲ)解法同一 (略)
练习册系列答案
相关习题

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

(本小题满分12分)如图,在底面为直角梯形的四棱锥,BC=6.

(Ⅰ)求证:
(Ⅱ)求二面角的大小.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:解答题

如图:在四面体中,平面

的中点;
(1)求证
(2)求直线与平面所成的角。
 

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

已知直线m⊥平面,直线平面,则下列命题正确的是               (   )
A.若αβ,则mnB.若αβ,则mn
C.若mn,则αβD.若nα,则αβ

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:单选题

如图,在正方体中,分别为的中点,则异面直线所成角是                      (   )
A.B.C.D.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

为一条直线,为三个互不重合的平面,给出下面三个语句:
// 
//
其中正确的序号是_____

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

(理)设是两条不同的直线,是一个平面,则下列命题错误的是          .
①若,则;②若,则
③若,则;④若,则.

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

设地球的半径为R,在北纬45°圈上有甲、乙两地,它们分别在东经50°与东经140°圈上,则甲、乙两地的球面距离是                  

查看答案和解析>>

科目:高中数学 来源:不详 题型:填空题

如图,三棱柱ABC—A1B1C1的底面是正三角形且侧棱垂直于底面,
三棱柱ABC—A1B1C1的每条棱长均为4,E、F分别是BC,A1C1
的中点,则EF的长等于         

查看答案和解析>>

同步练习册答案