【解法1】本题主要考查直线和平面垂直、直线与平面所成的角、二面角等基础知识,考查空间想象能力、运算能力和推理论证能力.
(Ⅰ)∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥BC.
又
,∴AC⊥BC.
∴BC⊥平面PAC. ……………4分
(Ⅱ)∵D为PB的中点,DE//BC,
∴
,
又由(Ⅰ)知,BC⊥平面PAC,
∴DE⊥平面PAC,垂足为点E.
∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角,……………6分
∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥AB,又PA=AB,
∴△ABP为等腰直角三角形,∴
,
∴在Rt△ABC中,
,∴
.
∴在Rt△ADE中,
,
∴
与平面
所成的角的大小
……………8分.
(Ⅲ)∵DE//BC,又由(Ⅰ)知,BC⊥平面PAC,∴DE⊥平面PAC,
又∵AE
平面PAC,PE
平面PAC,∴DE⊥AE,DE⊥PE,
∴∠AEP为二面角
的平面角, ……………10分
∵PA⊥底面ABC,∴PA⊥AC,∴
.
∴在棱PC上存在一点E,使得AE⊥PC,这时
,
故存在点E使得二面角
是直二面角. ……………12分
【解法2】如图,以A为原煤点建立空间直角坐标系
,
设
,由已知可得
.……………2分
(Ⅰ)∵
,
∴
,∴BC⊥AP.
又∵
,∴BC⊥AC,∴BC⊥平面PAC. ……………4分
(Ⅱ)∵D为PB的中点,DE//BC,∴E为PC的中点,
∴
,
∴又由(Ⅰ)知,BC⊥平面PAC,∴∴DE⊥平面PAC,垂足为点E.
∴∠DAE是AD与平面PAC所成的角, ……………6分
∵
,∴
.
∴
与平面
所成的角的大小
……………8分
(Ⅲ)解法同一 (略)