Question

10．时钟上自7点整到分针与时针第一次重合，求分针转过的弧度数．如果分针长11cm，求分针转过扇形的面积．

Answer 1

分析 解决这个问题就要弄清楚时针与分针转动速度的关系：每一小时，分针转动2π，而时针转动$\frac{π}{6}$，即分针每分钟转动$\frac{π}{30}$，时针每分钟转动$\frac{π}{360}$，7点时，时针与分针之间的夹角是$\frac{π}{6}$×7=$\frac{7π}{6}$，当时针和分针第一次重合时，实际上是分针比时针多走$\frac{7π}{6}$，依据这一关系列出方程即可求解．

解答 解：设从7点开始，经过x分钟，时针和分针第一次重合，由题意得：
$\frac{π}{30}$x-$\frac{π}{360}$x=$\frac{7π}{6}$，
$\frac{11π}{360}$x=$\frac{7π}{6}$，
解得：x=$\frac{420}{11}$；
至少再经过$\frac{420}{11}$分钟时针和分针第一次重合．
故分针转过的弧度数为：α=$\frac{420}{11}$×$\frac{π}{30}$=$\frac{14π}{11}$．
分针转过扇形的面积为：S=$\frac{1}{2}$r²α=$\frac{1}{2}×$11²×$\frac{14π}{11}$=77π cm²．

点评 钟表上的分钟与时针的转动问题本质上与行程问题中的两人追及问题非常相似，行程问题中的距离相当于这里的角度，行程问题中的速度相当于这里时（分）针的转动速度．