Question

已知a＞0，函数f(x)=ax-bx².?

(1)当b＞0时，若对任意x∈R都有f(x)≤1，证明a≤2;??

(2)当b＞1时，证明对任意x∈［0，1］，|f(x)|≤1的充要条件是b-1≤a≤2;?

(3)当0＜b≤1时，讨论对任意x∈［0，1］，|f(x)|≤1的充要条件.

Answer 1

（1）证明：依题设，对任意x∈R，都有f(x)≤1.?

∵f(x)=-b(x-)²+,?

∴f()=≤1.?

又∵a＞0,b＞0,∴a≤2.?

（2）证明：必要性：对任意x∈［0，1］，?|f(x)|≤1f(x)≥-1，?

据此可推出f(1)≥-1,?

即a-b≥-1,?

∴a≥b-1.?

对任意x∈［0，1］，|f(x)|≤1f(x)≤1?,?

∵b＞1，可以推出f()≤1,?

即a·-1≤1,∴a≤2.?

∴b-1≤a≤2.?

充分性：∵a＞1，a≥b-1,对任意?x∈?［0，1］，可以推出?

ax-bx²≥b(x-x²)-x≥-x≥-1,?

即ax-bx²≥-1.?

∵b＞1，a≤2b,对任意x∈［0，1］，可以推出ax-bx²≤2bx-bx²≤1,即ax-bx²≤1,

∴-1≤f(x)≤1.?

综上，当b＞1时，对任意x∈［0，1］，|f(x)|≤1的充要条件是b-1≤a≤2.?

（3）解析:因为a＞0,0＜b≤1时，对任意x∈［0，1］，有f(x)=ax-bx²≥-b≥-1,即f(x)≥-1;f(x)≤1f(1)≤1a-b≤1,即a≤b+1;a≤b+1f(x)≤(b+1)x-bx²≤1,即f(x)≤1.?

所以，当a＞0,a＜b≤1时，对任意?x∈［0，1］，|f(x)|≤1的充要条件为a≤b+1.